为何可以用哈伯常数估计宇宙年龄

作者:    2020-06-15 22:21:07   383 人阅读  179 条评论

根据哈伯定律,远方星系都在远离我们而去,且远离的速度 \(v\) 和距离 \(d\) 成正比,而其间的比例係数 \(H\) 则称为哈伯常数。写成数学形式即为:\(v=Hd\)。你可能会在不同的场合听到人家说,哈伯常数的倒数可以用来做为宇宙年龄的估计,但这是为什幺?

我们先来看一个不相干的问题。我们都很熟悉所谓的简谐运动,它指的是一个质量为 \(m\) 的物体在受到一条弹簧常数为 \(k\) 的弹簧之回复力时之运动,其运动方程式之数学形式为

\(m\cdot(\)加速度\()=\)\(k\cdot(\)位移\()~~~~~~~~~(1)\)

假设我今天有兴趣的只是数量级的大小(例如运动方程式的数学太难或太複杂了,我们不会解),则上式右手边中的「位移」虽然会随时间改变,但其数量级的大小应该也就和振动时的最大位移(亦即振幅)\(A\) 是一致的。至于上式左手边中的「加速度」之数量级的大小则可以利用下式来估计:

为何可以用哈伯常数估计宇宙年龄

其中我们把「时间的约略长短」视为和简谐运动的振动週期 \(T\) 有相同的数量级,而符号「\(\sim\)」则代表「数量级的约略大小」。

照这样说,\((1)\) 式就约略变成了

\(m\cdot \frac{A}{T^2}\sim k\cdot A\Rightarrow T\cdot \sqrt{\frac{m}{k}}\)

在中学物理中我们知道,经过仔细计算后所求得的週期和以上结果比较,其实还多了一个 \(2\pi\) 的係数,所以乍看之下,这个结果似乎令人失望。可是进一步想,在上述估算中,我们根本不曾真正去解运动方程式,但竟然还能不费吹灰之力去推算出系统週期的数量级估计,这绝对是很大的成就!不只如此,我们还可以正确宣称:振动週期是和质量的开根号成正比、和弹簧常数的开根号成反比哩!

如果你能接受以上的论述,那幺下面这个更难的问题也可以轻鬆化解:一个质量为 \(m\) 的物体受到一条非线性的弹簧之回复力在做运动(回复力和振幅的三次方成正比),其运动方程式之数学形式为

\(m\cdot(\)加速度\()=\)\(C\cdot(\)位移\()^3\)

请论述它的振动週期和质量 \(m\)、常数 \(C\) 以及振幅 \(A\) 之间有以下的关係:

\(T\sim \frac{1}{A}\sqrt{\frac{m}{c}}\)

 (所以,振幅很小时系统的週期变得很长!)

有了以上的热身运动,接下来处理宇宙年龄这个问题就容易多了。其实哈伯常数 \(H\) 虽然在宇宙中每一点的数值都相同,但它并不是传统力学概念中的常数,因为它可能随时间而改变。换句话说,今日所观测到的 \(H\) 的数值虽然大约是 \(21~ km/s/Mly\),但 \(20\) 亿年前的 \(H\) 可能和此数字有所偏差,而 \(50\) 亿年前的 \(H\) 可能和此数字偏差更大。即便如此,我们还是相信,只要老天爷没有和我们开大玩笑,则不同时代的 \(H\) 的数量级马马虎虎大概也就是 \(21 km/s/Mly\)。

同理,今日远方特定的星系若是以 \(v\) 的速度在远离,那之前呢?更早的时候又如何呢?我们也是说不準,但只要老天爷没有和我们开大玩笑,则大部份时候它的数量级应该也就是像 \(v\) 那样。既然如此,则远方星系从距离我们相邻很近的地方,随着宇宙膨胀而远离至今日很远之距离 \(d\),此中所经历的时间之数量级就约略是

为何可以用哈伯常数估计宇宙年龄

于是我们就有了宇宙年龄的估计值是 \(1/H\)。当然,从以上的估算中你一定可以看出来,宇宙的年龄和宇宙演化模型的细节有很大关係,所以上述结果充其量也不过就是个数量级的估计而已,不用过度解读,就如同简谐振动所估出来的週期与真实数值会差上 \(2\pi\) 一样。